Конспект урока на тему: Анализ чувствительности результатов решения задач оптимизации для студентов 1 курса экономических специальностей

Краткое описание документа:

Приступая к изучению данной темы, студенты уже должны знать: построение математической модели задач оптимизации, решение задач оптимизации с помощью надстройки Excel «Поиск решения», возможности окна Параметры поиска решения;уметь: формировать условие задач оптимизации в рабочей книге Excel, решать транспортную задачу, задачу о назначениях, задачу на распределение ресурсов с помощью надстройки Поиск решения. Литература 1. Верзилов О.М., Косминская О.М. Работа с табличным процессором Microsoft Excel: Учеб. пособие. Ч. 2. – Донецк: ДонДУУ, 2006. – 138 с. 2. Справочная система Microsoft Excel 2003 3. Алесинская Т.В. Учебное пособие по решению задач по курсу экономико-математические методы и модели. Таганрог: ТГРУ, 2002. – 153 с. 4. http://allmatd.ru/appliedmatd/operations/excel/excel3.htm 5. http://walw.ru/isl/index.php?41 Отчет по результатам Отчет по устойчивости. Отчет по пределам. Анализ результатов решения задач линейного программирование Неизбежное колебание значений таких экономических параметров, как цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке и т.д. может привести к неоптимальности или непригодности прежнего режима работы. Для учета подобных ситуаций проводится анализ чувствительности, т.е. анализ того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение задачи ЛП. Для решения задач анализа чувствительности ограничения линейной модели классифицируются следующим образом: Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку. Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную точку. Аналогично ресурс, представляемый связывающим ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый несвязывающим ограничением – недефицитным. Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на ОДР и, следовательно, на оптимальное решение. Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов: - на сколько можно увеличить (ограничения типа =) запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ? - на сколько можно уменьшить (ограничения типа =) запас недефицитного ресурса при сохранении оптимального значения ЦФ?2. Увеличение (ограничения типа =) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно?3. Анализ изменения коэффициентов ЦФ: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение? Применяя Поиск решения, мы кроме нахождения оптимального решения получили 3 листа с отчетами: Отчет по результатам, Отчет по пределам, Отчет по устойчивости. Анализируя эти отчеты, мы можем получить ответы на все вышеперечисленные вопросы. Рассмотрим пример. Мебельная фабрика производит недорогие столы и стулья. В распоряжении фабрики 4 вида ресурсов, запасы которых ограничены. Потребности в ресурсах и возможности по их использованию (запасы) в течение суток приведены в таблице. Максимальная потребность в столах на плановый период - 40 шт. Каждый проданный стол приносит прибыль в $7, а проданный стул в $5. Ресурс Потребность в ресурсе Дневной запас ресурса Столы Стулья Плотницкий участок (время) 4 3 240 Участок покраски (время) 2 1 100 Участок контроля (время) 0,5 0,6 36 Древесина (кв. м) 32 10 1248 Определить оптимальный план производства мебельной фабрики. Введем начальные данные в таблицу Excel. Решим эту задачу: м. Сервис - к. Поиск решения… Кнопка Параметры. Поставить птичку – Линейная модель. Кнопка Ок - Выполнить. Выделить все типы отчетов, нажать Ок. Получили результат: Ресурс Потребность в ресурсе Дневной запас ресурса Дневной запас ресурса (ограничение) Столы Стулья Плотницкий участок (время) 4 3 240 221,0704225 Участок покраски (время) 2 1 100 91,94366197 Участок контроля (время) 0,5 0,6 36 36 Древесина (кв. м) 32 10 1248 1248 Потребность в столах 40 План (шт) 27,3803 37,1831 Прибыль ($) 7 5 377,5774648 Ответ: оптимальный план производства мебельной фабрики: 27,4 стола и 37,2 стула в сутки. При этом достигается максимальная прибыль в 377,58 единиц. Кроме этого добавляется 3 листа: Отчет по результатам, отчет о пределах, Отчет об устойчивости. Используя эти отчеты можно проанализировать поведение оптимального плана в различных изменениях. Отчет по результатам Состоит из 3 таблиц. 1 – Целевая ячейка. В ней отображается начальное значение целевой функции и оптимальное (результат). В нашем случае 120 и 377,58. 2- Изменяемые ячейки. В ней отражены исходные значения переменных и результирующие (оптимальные). В нашей задаче – 10 и 27,38 столов, 10 и 37,18 стульев. Если продукт не входит в оптимальное решение (равен 0), то он считается не рентабельным. 3- Ограничения. Кроме имени ограничения, ячейки, в которую вписана левая часть ограничения, в ней отображены столбцы:Значение – значение левой части ограничения при оптимальном плане. Т.е. сколько фактически использовано ресурса. Например, Плотницкий участок – 221,07 ед., древесина – 1248 кв.м.Формула – отображается знак ограничения (больше или равно, меньше или равно и т.д.)Статус – отображено Связанное или не связанное ограничение. Если статус связанное, то ресурс использован полностью (например, древесина, участок контроля). Если же статус – не связанное, то ресурс использован не полностью (например, плотницкий участок, участок покраски).Разница – отображено количество оставшегося не использованным ресурса. Например, плотницкий участок – 18,93 единицы, участок покраски – 8,06 единицы. Отчет по устойчивости Отчет по устойчивости состоит из 2 таблиц. 1 – изменяемые ячейки. Кроме имени переменных и адресов ячеек в ней присутствуют столбцы:Результирующее значение – это оптимальный план.Нормированная (редуцированная) стоимость – показывает, на сколько изменится целевая функция после принудительного включения единицы этой продукции в оптимальный план. Если продукт рентабелен, то нормированная стоимость будет равна 0. В нашем примере нормированная стоимость равна 0 и для столов и для стульев, т.к. продукция рентабельна.Целевой коэффициент – значения коэффициентов целевой функции. В нашем примере – удельная прибыль – 7 и 5.Допустимое увеличение, допустимое уменьшение – показывает границы изменений коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение. Например, если стоимость стола увеличится на 9 и более единиц (например, 17), то изменится набор переменных, входящих в оптимальное решение. Какой именно будет оптимальный план, мы сказать не можем. 2 – Ограничения. Кроме имени переменных и адресов ячеек в ней присутствуют столбцы:Результирующее значение - значение левой части ограничения при оптимальном плане. Т.е. сколько фактически использовано ресурса. Например, Плотницкий участок – 221,07 ед., древесина – 1248 кв.м.Теневая цена – изменение целевой функции при изменении дефицитного ресурса на 1 единицу. Теневая цена недефицитного ресурса будет равна 0. Например, изменения количества ресурса плотницкого участка или участка покраски не повлияет на значение целевой функции (= 0). Если же увеличить ресурс участка контроля на 2 единицы (38 единиц), то целевая функция увеличится на 2 * 6,338 = 12,676 единиц и станет равной 377,577 + 12,676 = 390,253 единицы.Ограничение Правая часть – запас ресурса.Допустимое увеличение, допустимое уменьшение - показывает, на сколько можно изменить правую часть ограничения до того момента пока это будет влиять на целевую функцию. Например, увеличение запаса времени участка контроля больше, чем на 4,8 единицы уже не будет влиять на целевую функцию. Если в параметрах Поиска решения не указывать – Линейная модель, отчет по устойчивости будет иметь вид: Нормированный градиент - оказывает, на сколько изменится значение; целевой ячейки при увеличении значения переменной на одну единицу.Лагранжа множитель - показывает, на сколько изменится значение в целевой ячейке при увеличении запаса некоторого ресурса на одну единицу Отчет по пределам Отчет по пределам состоит из 2 таблиц. 1 – оптимальное значение целевой ячейки. 2 - результирующие (оптимальные) значения переменных с их нижними и верхними пределами и соответствующими целевыми результатами.Значение – оптимальное значение переменной.Нижний предел, верхний предел - наименьшее значение, которое может иметь изменяемая ячейка при условии, что ограничения еще выполняются, а значения остальных изменяемых ячеек фиксированы (равны оптимальным).Целевой результат - это значение целевой ячейки, когда значение изменяемой ячейки равно ее нижнему или верхнему пределу. Например, если столов не будут выпускать (0 штук – нижний предел), то при выпуске 37,18 стульев, прибыль (целевая функция) будет равняться 185,91. Практическое занятие Цель: научиться создавать отчеты по результатам, устойчивости и пределам, проводить анализ чувствительности решения задачи на распределение ресурсов.Максимальный балл: 2.План работы Решить задачу на распределение ресурсов, проанализировать и обсудить результаты. Ролевая игра. В городе имеются 4 предприятия, выпускающие мебель. Студенты разбиваются на 4 группы, получают карточки с начальными условиями и отвечают на вопросы:Определить оптимальный план производства изделий для достижения максимальной прибыли. Можно ли поднять цену на выпускаемую продукцию без изменения плана выпуска? Если можно, то на сколько? Выявить дефицитные ресурсы. На сколько можно увеличить запас дефицитных ресурсов для улучшения оптимального значения целевой функции? Выявить недефицитные ресурсы. На сколько можно уменьшить их запас при сохранении оптимального значения целевой функции? Представители каждого предприятия собираются за круглым столом и договариваются о перераспределении ресурсов. Каждое предприятие отчитывается: какая прибыль планировалась, какие ресурсы были предложены другим предприятиям, и какие ресурсы были приобретены, как это повлияло на прибыль. Подводятся итоги занятия. Ход занятия Совместно решается задача. Продуктовая компания производит 3 вида фруктовых коктейлей: «Вогник», «Вітамінний», «Фірмовий». Основными ингредиентами этих продуктов являются полуниця и малина. Каждый продукт производится партиями и должен пройти 3 стадии производства: змішування, консервацію, упаковку. Вогник Вітамінний Фірмовий Наявність ресурсу Полуниця (кг) 20 10 16 320 Малина (кг) 10 20 16 400 Змішування (годинника) 1 3 2 48 Консервація (годинника) 1 2 1 65 Упаковка (годинника) 2 1 1 40 Прибуток 10 6 8 Определить оптимальные объемы производства каждого вида продукции. Как изменится целевая функция (прибыль), если компания начнет выпускать 5 единиц коктейля «Фірмовий»? Компания имеет возможность приобрести новую машину для смешивания фруктов. Это может увеличить количество часов работы участка змішування 1) с 48 до 56 часов; 2) с 48 до 62 часов. Повлияет ли это на оптимальный результат? Почему? Компания может купить также новую машину для упаковки. Это увеличит общий фонд времени участка с 40 до 50 часов. Повлияет ли это на оптимальный результат? Почему? Менеджер нашел возможность сделать запас только одного вида ресурса. Какой ресурс и в каком количестве необходимо запасти? Как изменится план производства, если появится возможность получать прибыль от реализации единицы коктейля «Фірмовий» в размере 10 единиц? Решение. Вносим данные в рабочую книгу. Решаем задачу с помощью Поиск решений Устанавливаем в Параметрах Линейную модель Создаем отчеты Определить оптимальные объемы производства каждого вида продукции. Для достижения максимальной прибыли в размере 172,8 необходимо производить 9,6 единиц коктейля «Вогник», 12,8 единиц коктейля «Вітамінний». Коктейль «Фірмовий» оказался нерентабельным – его производить не стоит. Как изменится целевая функция (прибыль), если компания начнет выпускать 5 единиц коктейля «Фірмовий»? В отчете по результатам видно, что коктейль «Фірмовий» - нерентабелен, т.е. не входит в оптимальный план (Результат = 0). Для того, чтобы узнать как изменится значение целевой функции необходимо рассмотреть отчет по устойчивости. Нормированная стоимость коктейля «Фірмовий» составляет -0,48, что означает, что при принудительном включении в оптимальный план 1 единицы коктейля целевая функция изменится на -0,48 единиц. Т.к. нам необходимо включить 5 единиц коктейля, то целевая функция изменится на 5*(-0,48)=-2,4 единицы. Т.о. прибыль составит 172,8-2,4=170,4 единицы.Проверим это, добавив в ограничение 5 единиц коктейля «Фірмовий». Выполнив Поиск решения, получим: Видим, что целевая ячейка изменилась и стала равной 170,4 единицы. Компания имеет возможность приобрести новую машину для смешивания фруктов. Это может увеличить количество часов работы участка змішування 1) с 48 до 56 часов; 2) с 48 до 62 часов. Повлияет ли это на оптимальный результат? Почему? В отчете по результатам видим, что ресурс Змішування является дефицитным, т.е. связанным и расходуется полностью. Значит, увеличение этого ресурса повлияет на оптимальный результат. Для ответа на вопрос «Как повлияет?» проанализируем отчет по устойчивости. 1) Видим, что Допустимое увеличение ресурса Змішування – 8 единиц. Если увеличить запас ресурса с 48 до 56 (на 56-48=8), то учитывая значение Теневой цены, мы можем сказать, что целевая функция увеличится на 0,4*8=3,2 единицы, т.е. составит 172,8+3,2=176 единиц.Для проверки, изменим запас ресурса и выполним Поиск решения. 2) Если же увеличит запас ресурса до 62 (на 14 единиц), это больше, чем допустимое увеличение. Значит, целевая функция будет увеличиваться до 176, пока ресурс остается дефицитным, а затем произойдет изменение рентабельности продукции.Проверим это, изменив запас ресурса и применив Поиск решения Компания может купить также новую машину для упаковки. Это увеличит общий фонд времени участка с 40 до 50 часов. Повлияет ли это на оптимальный результат? Почему? В отчете по результатам видим, что ресурс Упаковка является не дефицитным, следовательно, его увеличение не повлияет на оптимальное решение (Допустимое увеличение равно +?, Теневая цена равна 0). Проверим это, изменив запас ресурса и применив Поиск решения Менеджер нашел возможность сделать запас только одного вида ресурса. Какой ресурс и в каком количестве необходимо запасти? Анализируем отчет по устойчивости Теневая цена не равна 0 у ресурсов Полуниця и Змішування. Допустимое увеличение Полуниці равно 80, следовательно, оптимальное решение увеличится на 0,48*80=38,4 единицы. Тогда как при увеличении запаса ресурса Змішування оптимальное решение увеличится на 8*0,4=3,2 единицы. Следовательно, необходимо запастись ресурсом Полуниця в размере 80 единиц, что увеличит прибыль с 172,8 до 211,2 единиц.Проверим это, изменив запас ресурса и применив Поиск решения Как изменится план производства, если появится возможность получать прибыль от реализации единицы коктейля «Фірмовий» в размере 10 единиц? Анализируем отчет по устойчивости. Видим, что Допустимое увеличение целевого коэффициента «Фірмовий» 0,48, что означает, что при увеличении целевого коэффициента больше чем до 8,48 (в нашем случае до 10) изменится оптимальный базис, т.е. коктейль «Фірмовий» станет рентабельным.Проверим это, изменив прибыль и применив Поиск решения Карточки-задания. Вариант 1 Компания производит мягкую мебель в обыкновенном исполнении и в исполнении люкс. Потребности в ресурсах приведены в таблице. 364 часов времени в неделю могут быть использованы на участке сборки, 280 часов в неделю на участке покраски и 60 часов в неделю на участке контроля. Древесина имеется в количестве 5000 кв.м., ткань в количестве 1001 м.кв. Спрос на мебель, по меньшей мере 150 единиц продукции в обыкновенном исполнении и 90 единиц в исполнении люкс. Компания заинтересована в оптимальном сочетании выпуска продукции в течение недели. Продукт Вклад в прибыль Расход древесины Время сборки Расход ткани Время покраски Время контроля Обыкновенный $50 15 1.2 3 0.8 0.2 Люкс $75 17 1.6 5 0.9 0.2 Вариант 2 Мебельный цех №2 производит плательные и книжные шкафы. В распоряжении цеха 4 вида ресурсов, запасы которых ограничены. Потребности в ресурсах и возможности по их использованию (запасы) в течение недели приведены в таблице. Максимальная потребность в плательных шкафах на плановый период - 100 шт. Каждый проданный плательный шкаф приносит прибыль в 90$, а проданный книжный шкаф в 57$. Плательный шкаф Книжный шкаф Недельный запас ресурса Участок сборки (время) 4 3 638 Участок покраски (время) 2 1 300 Участок контроля (время) 0.5 0.6 90 Древесина (м. кв.) 32 20 4781 Вариант 3 Кооператив, используя три типа ресурсов, реализует продукцию четырех видов. Общий объем ресурсов, их затраты на продажу одной партии изделий, а также прибыль от ее реализации приведены в таблице. Тип ресурсов Затраты на реализацию одной партии изделий, усл.ед. Общий объем ресурсов 1-го вида 2-го вида 3-го вида 4-го вида Древесина 3 4 2 6 64 Ткань 4 7 3 5 83 Сборка 2 3 6 1 58 Прибыль от реализации одной партии изделий, грн 14 15 12 17 Вариант 4 Мебельная фабрика производит недорогие столы и стулья. В распоряжении фабрики 4 вида ресурсов, запасы которых ограничены. Потребности в ресурсах и возможности по их использованию (запасы) в течение недели приведены в таблице. Максимальная потребность в столах на плановый период - 40 шт. Каждый проданный стол приносит прибыль в $5, а проданный стул в $7. Ресурс Потребность в ресурсе Недельный запас ресурса Столы Стулья Участок сборки (время) 4 3 220 Участок покраски (время) 2 1 100 Участок контроля (время) 0,5 0,6 32 Ткань 0,7 20 Древесина (м. кв.) 32 10 1480 Представители каждого предприятия собираются за круглым столом и договариваются о перераспределении ресурсов. Каждое предприятие отчитывается: какая прибыль планировалась, какие ресурсы были предложены другим предприятиям, и какие ресурсы были приобретены, как это повлияло на прибыль. Ответы аргументируют используя отчеты. Подводятся итоги занятия. Выставляются баллы.