Статья «Арифметические операции в p-ичных системах счисления» фрагмент

Андреева Юлия Алексеевна

учитель информатики

МБОУ СОШ № 105

город Нижний Новгород

informatika105@mail.ru

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

В P-ИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Теоретическая часть 5

Системы счисления: основные понятия 5

Арифметические операции в Р-ичных системах счисления 6

Таблицы сложения и умножения (для двоичной и восьмеричной систем счисления) 9

Практическая часть 11

Задача 1 11

Задача 2 11

Задача 3 13

Заключение 14

Список литературы 16

ВВЕДЕНИЕ

Тема «Системы счисления» сегодня рассматривается в курсе информатики в 9 и 10 классах. В 9 классе она изучается в разделе «Кодирование числовой информации» и нужна преимущественно для подготовки к успешной сдачи экзамена в форме государственной итоговой аттестации (ГИА); в 10 классе – является элементом повторения, закрепления и углубления, подготовки к сдаче единого государственного экзамена (ЕГЭ) в 11 классе.

Тема «Системы счисления» имеет прямое отношение к математической теории чисел. Но в школьном курсе математики эта тема, как правило, не изучается. Необходимость изучения темы в курсе информатики связана с тем, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную системы счисления. Данная тема является смежной темой с математикой и вносит вклад в фундаментальное математическое образование школьников.

Как правило, при изучении темы «Системы счисления» рассматриваются следующие вопросы:

• позиционные и непозиционные системы счисления;

• основные понятия позиционных систем счисления: основание, алфавит;

• формы представления чисел в позиционных системах;

• перевод чисел из одной системы счисления в другую;

• особенности арифметики в позиционных системах счисления.

Остановимся подробнее на последнем вопросе «Арифметические операции в Р-ичных системах счисления» и рассмотрим его как тему отдельного урока в 10 классе.

Цель урока – развитие логического (математического) мышления учащихся в области информатики и расширение навыков реализации теоретических знаний в практической деятельности.

Задачи:

• закрепление знаний, умений, навыков работы с позиционными системами счисления (перевода чисел из одной системы счисления в другую);

• знакомство с правилами арифметических операций в Р-ичных системах счисления;

• реализация теоретических знаний в практической деятельности;

• развитие логического мышления посредством решения задач;

• выполнение оперативных и рациональных действий, заданных условиями.

При изучении материала следует учитывать межпредметную связь с математикой (темы «Выполнение арифметических операций»; «Запись натуральных чисел»; «Степень с натуральным, отрицательным, нулевым показателем»), а также внутридисциплинарную связь с темами «Основы алгоритмизации и программирования», «Архитектура ЭВМ», «Кодирование информации».

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Системы счисления: основные понятия

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Сегодня числа, цифры с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Однако уже тогда число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами.

Но что же мы понимаем под словом «число»?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было «привязано» к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона. Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа – фундаментальное понятие как математики, так и информатики.

Сегодня, в XXI веке, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления – это способ записи (изображения) чисел.

Алфавит - конечный набор (множество) символов.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления – результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Позиционную систему счисления с основанием P принято называть P-ичной. Примерами позиционной системы счисления могут служить двоичная, троичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д. (табл. 1).

Таблица 1. Примеры позиционных систем счисления

Позиционная

система счисления

Основание

Алфавит

Двоичная

2

0, 1

Троичная

3

0, 1, 2

Восьмеричная

8

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Десятичная

10

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Шестнадцатеричная

16

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)

Позиция цифры в числе называется разрядом. Для целых чисел разряды нумеруются справа налево, началом отсчета является 0.

Арифметические операции в Р-ичных системах счисления

1. Сложение

Для двоичной системы счисления действуют правила сложения:

0

+

0

=

0

0

+

1

=

1

1

+

0

=

1

1

+

1

=

1

При сложении чисел в произвольной позиционной системе счисле­ния с основанием Р в каждом разряде производится сложение цифр сла­гаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется. При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число большее или равное Р, то его представляют в виде Рk+b, где k — частное, а b — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления. Число b является количеством единиц в данном разряде, а число к — количеством единиц переноса в следующий разряд.

Для выполнения этой операции используют таблицы сложения. По вертикали и по горизонтали откладываются числа алфавита. На пересечении строки и столбца получается результат операции.

Примеры:

2. Вычитание

Для двоичной системы счисления действуют правила вычитания:

0

–

0

=

0

0

–

1

=

11

1

–

0

=

1

1

–

1

=

0

При вычитании чисел в Р-ичной системе счисления цифры вычитают­ся поразрядно. Если в рассматриваемом разряде необходимо от меньше­го числа отнять большее, то занимается единица следующего (большего) разряда. Занимаемая единица равна Р единицам этого разряда (аналогич­но, когда занимают единицу в десятичной системе счисления, то зани­маемая единица равна 10).

Для вычитания также используется таблица сложения. Предположим, нужно вычесть цифру b из числа a. Алгоритм действий в таком случае:

1. Найти строку, именованную цифрой b.

2. В этой строке найти цифру a.

3. Посмотреть, какой цифрой именован столбец, на пересечении которого с цифрой получается результат a.

Эта схема работает, если a≥b. В противном случае, следует занять единицу старшего разряда.

Примеры:

3. Умножение

Для двоичной системы счисления действуют правила умножения:

0

∙

0

=

0

0

∙

1

=

0

1

∙

0

=

0

1

∙

1

=

1

При умножении чисел в Р-ичной системе счисления каждая цифра вто­рого множителя умножается последовательно на цифру каждого из раз­рядов первого множителя (так же, как и в десятичной системе счисления).

При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число большее или равное Р, то его представляют в виде Рk+b, где k — частное, а b — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления. Число b записывают в едини­цы данного разряда, а число k запоминают и добавляют его к результату произведения в следующем разряде.

Полученные результаты умножения складывают и отделяют количество знаков после запятой, рав­ное сумме знаков после запятой у сомножителей.

По сути, это то же самое умножение столбиком, которое применяется в десятичной системе счисления. Единственное отличие – для проведения этой операции в P-ичной системе необходимо использовать  таблицы сложения для этой P-ичной системы счисления.

Примеры:

4. Деление

Для двоичной системы счисления операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Деление чисел в Р-ичной системе счисления производится так же, как и десятичных чисел, при этом используются правила умножения, сложения и вычитания чисел в Р-ичной системе счисления. Делить следует также «столбиком», однако, как и в случае умножения, использовать таблицы умножения и сложения для P-ичной системы счисления.

Примеры:

В качестве альтернативы можно выделить и другой подход. Перед началом выполнения операций можно перевести все слагаемые в десятичную систему счисления, выполнить в привычной форме необходимые расчеты, а результат перевести обратно в системы с основанием P.

Таблицы сложения и умножения

(для двоичной и восьмеричной систем счисления)

Таблица 2. Таблица сложения в двоичной системе счисления

+

0

1

0

0

1

1

1

10

Таблица 3. Таблица умножения в двоичной системе счисления

*

0

1

0

0

0

1

0

1

Таблица 4. Таблица сложения в восьмеричной системе счисления

+

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

1

2

3

4

5

6

7

1

1

2

3

4

5

6

7

10

2

2

3

4

5

6

7

10

11

3

3

4

5

6

7

10

11

12

4

4

5

6

7

10

11

12

13

5

5

6

7

10

11

12

13

14

6

6

7

10

11

12

13

14

15

7

7

10

11

12

13

14

15

16

Таблица 5. Таблица умножения в восьмеричной системе счисления

*

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

2

0

2

4

6

10

12

14

16

3

0

3

6

11

14

17

22

25

4

0

4

10

14

20

24

30

34

5

0

5

12

17

24

31

36

43

6

0

6

14

22

30

36

44

52

7

0

7

16

25

34

43

52

61

Составить таблицу умножения или сложения для любого основания можно самостоятельно. Для этого нужно:

1. В крайних левом вертикальном столбце и верхней горизонтальной строке записать алфавит  (цифры записываются по возрастанию). В ячейке, основанной на пересечении i-й строчки и j-го столбца, будет записан результат операции.

2. Сосчитать значения i * j или i + j  как в обычной десятичной системе. Перевести результат в систему счисления с исходным основанием.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Практическая часть по исследуемой теме, как правило, представлена задачами на выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления с различными основаниями. Такие задачи встречаются в вариантах ГИА, ЕГЭ. В них предлагается сложить 2 или 3 числа, заданных в родственных системах счисления.

Задачи можно решать, используя перевод исходных чисел в десятичную систему счисления. Однако в некоторых случаях можно использовать перевод и сложение чисел в двоичной системе счисления.

Наиболее простыми являются задания, в которых варианты ответов заданы в двоичной форме, так как решение в этом случае можно свести к сложению двоичных чисел и сразу получить нужный ответ. Некоторые задания требуют приведения и исходных данных, и вариантов ответа либо к двоичной, либо к десятичной системе счисления.

Рассмотрим решение некоторых из них.

Задача 1.

Вычислить сумму чисел X и Y, если X=1010111₂, Y=152₈. Результат представить в двоичном виде.

Решение.

Поскольку результат нужно представить в двоичной системе счисления, наиболее удобно и быстро решить данную задачу путем перевода всех чисел в двоичную систему счисления.

Число X уже представлено в двоичной системе счисления: X=1010111₂. Переведем число Y из восьмеричной в двоичную систему счисления, разбив его на триады:

1

5

2

001

101

010

Получили Y=152₈=1101010₂.

Сложим двоичные числа X и Y столбиком:

+

1

0

1

0

1

1

1₂

1

1

0

1

0

1

0₂

1

1

0

0

0

0

0

1₂

Результатом решения задачи является число 11000001₂.

Ответ: 11000001₂.

Задача 2.

Чему равна сумма чисел 52₈ и А9₁₆ в двоичной системе счисления?

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1.

Переведем исходные числа в десятичную систему счисления путем разложения по степеням:

52₈ = 5*8¹ + 2*8⁰ = 40 + 2 = 42₁₀,

А9₁₆ = 10*16¹ + 9*16⁰ = 160 + 9 = 169₁₀.

Находим сумму десятичных чисел: 42₁₀ + 169₁₀ = 211₁₀.

Переводим полученное десятичное число в двоичную систему счисления путем деления и выделения остатков:

–

211

2

210

105

2

1

104

52

2

1

52

26

2

0

26

13

2

0

12

6

2

1

6

3

2

0

2

1

1

211₁₀ = 11010011₂.

Ответ: 11010011₂.

Способ 2.

Переведем исходные числа в двоичную систему счисления путем разбиения на триады и тетрады:

5

2

А

9

101

010

1010

1001

52₈ = 101010₂,

А9₁₆ = 10101001₂.

Сложим полученные двоичные числа столбиком:

+

1

0

1

0

1

0₂

1

0

1

0

1

0

0

1₂

1

1

0

1

0

0

1

1₂

В результате сложения получили двоичное число 11010011₂.

Ответ: 11010011₂.

Задача 3.

Из разности двух восьмеричных чисел 100100 и 61556 вычесть сумму двух шестнадцатеричных чисел FAD и CDC, а затем для числа, полученного в результате, выяснить, в какой системе счисления это число будет иметь вид 1001001?

Решение.

Найдем разность восьмеричных чисел:

100100₈ – 61556₈ = 16322₈

–

1

0

0

1

0

0₈

6

1

5

5

6₈

1

6

3

2

2₈

Найдем сумму шестнадцатеричных чисел:

FAD₁₆ + CDC₁₆ = 1C89₁₆

+

F

A

D₁₆

C

D

C₁₆

1

С

8

9₁₆

Для выполнения вычитания переведем полученное шестнадцатеричное число в восьмеричную систему счисления с помощью триадно-тетрадного метода:

1

С

8

9

₍₁₆₎

0001

1100

1000

1001

₍₂₎

1

110

010

001

001

₍₂₎

1

6

2

1

1

₍₈₎

Найдем разность восьмеричных чисел:

16₈ – 61556₈ = 16322₈

–

1

6

3

2

2₈

1

6

2

1

1₈

1

1

1₈

Определим основание системы счисления, в которой восьмеричное число 111 будет иметь вид 1001001 методом перебора. По значению чисел примем гипотезу о двоичной системе счисления. Разобьем восьмеричное число 111 на триады:

1

1

1

001

001

001

Получаем, что 111₈ = 1001001₂, что и требовалось выяснить.

Ответ: 111₈ = 1001001₂.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тема, рассмотренная в данной работе, посвящена ключевому понятию математики, а вместе с тем и информатики, – числу, а также системам счисления – способам записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

С понятием «система счисления» учащиеся впервые встречаются в 5 классе основной школы, когда знакомятся с десятичной системой счисления, и в дальнейшем по школьной программе более подробно изучается именно эта система счисления (арифметические действия, признаки делимости).

Учащиеся вновь обращаются к этой теме и встречаются с понятием «системы счисления» при изучении базового курса информатики. К сожалению, на ее изучение отводится мало часов, и по программе рекомендуется рассматривать те системы счисления, которые используются в компьютере (двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную). На арифметику в этих системах счисления, включая арифметические действия, признаки делимости, разнообразные текстовые и игровые задачи, времени практически не остается.

Однако, работая на компьютере, учащиеся видят «внешние» результаты этой работы, и вопрос, как и что происходит внутри компьютера, всегда их интересует.

Содержание темы рассматривает вопросы истории числа, системы счисления с различными основаниями, арифметические операции и признаки делимости в этих системах, смешанные системы счисления, перевод числа, включая дробные числа, из одной системы счисления в другие.

Задачи, разбираемые в теме, интересны и часто непросты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся, и дает им возможность проверить свои способности к математике и информатике.

По мере изучения темы появляются следующие учебные эффекты:

• расширяются знания учащихся о числе, способах его
  записи;

• складывается представление о многообразии систем счисления, их
  классификации и истории возникновения;

• формируются навыки перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую и выполнения арифметических операций в них;

• создаются условия для развития у учащихся интереса к изучению математики и информатики;

• раскрывается умение самостоятельно приобретать и применять знания;

• развиваются логическое и алгоритмическое мышление, творческие способности и коммуникативные навыки.

После изучения материала учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и навыками:

• умеют представлять числа и выполнять арифметические действия в различных системах счисления;

• умеют устанавливать связь между системами счисления;

• умеют осуществлять перевод чисел из одной системы счисления в другую;

• умеют находить оптимальный и рациональный способ решения поставленной задачи.

Важным результатом изучения темы «Арифметические операции в Р-ичных системах счисления» становится углубление имеющихся знаний по предмету, формирование основы научного мировоззрения в области информатики и развитие интереса к информатике, как науке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Информатика и ИКТ. Профильный уровень: учебник для 10 класса / Н.Д. Угринович. – 6-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. – 387 с.: ил.

2. Радюк Л. Алгоритм перевода в двоичную и из двоичной системы счисления.// Наука и жизнь. 2005, №1.

3. С. Б. Гашков. Системы счисления и их применение. М.: МЦНМО, 2004. — 52 с.: ил.

4. Сидоров В.К. Системы счисления.// Наука и жизнь, 2008, №2.

5. Технология разработки элективных курсов / А.А. Зубрилин, И.С. Паркина // Информатика и образование. – 2006. – №1.